Poissonova distribuce

Poissonovo rozdělení , ve statistice, distribuční funkce užitečná pro charakterizaci událostí s velmi malými pravděpodobnostmi výskytu v určitém určitém čase nebo prostoru.

Obrázek 1: Sloupcový graf znázorňující rodinný stav 100 jedinců.Přečtěte si více o této statistice témat: Distribuce Poissonů Distribuce pravděpodobnosti Poissonů se často používá jako model počtu příjezdů do zařízení v daném časovém období. Pro...

Francouzský matematik Siméon-Denis Poisson vyvinul svou funkci v roce 1830, aby popsal, kolikrát hráč vyhraje zřídka vyhrávanou hazardní hru ve velkém počtu pokusů. Necháme-li p představovat pravděpodobnost výhry při daném pokusu, bude průměrný nebo průměrný počet výher (λ) v n pokusech dán λ = n p . Použitím švýcarského matematika Jakob Bernoulliho binomické rozložení Poisson ukázal, že pravděpodobnost získání k vítězství je přibližně λ k / e −λ k !, Kde e je exponenciální funkce a k ! = k ( k - 1) ( k- 2) ⋯ 2 ∙ 1. Za povšimnutí stojí skutečnost, že λ se rovná jak střední hodnotě, tak rozptylu (míra rozptylu dat od střední hodnoty) pro Poissonovo rozdělení.

Poissonova distribuce je nyní považována za životně důležitou distribuci sama o sobě. Například v roce 1946 publikoval britský statistik RD Clarke „Aplikace poissonovské distribuce“, ve kterém zveřejnil svou analýzu distribuce zásahů létajících bomb (rakety V-1 a V-2) v Londýně během druhé světové války. . Některé oblasti byly zasaženy častěji než jiné. Britská armáda chtěla vědět, zda Němci zacílili na tyto okresy (hity naznačující velkou technickou přesnost) nebo zda bylo rozdělení způsobeno náhodou. Pokud byly rakety ve skutečnosti zaměřeny pouze náhodně (v obecnější oblasti), Britové mohli jednoduše rozptýlit důležité instalace, aby se snížila pravděpodobnost jejich zasažení.

Stávky V-1 a V-2 a Poissonova distribuce

Clarke začal rozdělením oblasti na tisíce malých, stejně velkých pozemků. V každém z nich bylo nepravděpodobné, že by došlo dokonce k jednomu zásahu, natož více. Kromě toho, za předpokladu, že rakety náhodně padly, byla šance na zásah v kterémkoli jednom spiknutí konstantní napříč všemi spiknutími. Celkový počet zásahů by proto byl podobný počtu výher při velkém počtu opakování hazardní hry s velmi malou pravděpodobností výhry. Tento druh uvažování vedl Clarka k formální derivaci Poissonovy distribuce jako modelu. Pozorované frekvence zásahů byly velmi blízké předpovězeným Poissonovým frekvencím. Clarke proto uvedl, že pozorované variace se zdály být generovány pouze náhodou.